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\title{Spieltheorie \"Ubung 4}

\author{Eugen Sawin}

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\newcommand{\E}{\mathcal{E}}

\newcommand{\R}{\mathcal{R}}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

%

\section*{Aufgabe 4.1}

(a) Das Picknickspiel ist das Spiel $G=\langle\{1,2\},(A,B),(u_i)\rangle$ mit $A=B=\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\}$ und das $(u_i)$ definiert durch die folgende Matrix.\\\\

\begin{tabular}{rr|c|c|c|c|c|}

 \multicolumn{1}{r}{}

 & \multicolumn{1}{r}{}

 & \multicolumn{5}{c}{\emph{Spieler 2}} \\

 \multicolumn{1}{r}{}

 & \multicolumn{1}{r}{}

 & \multicolumn{1}{c}{$p_1$}

 & \multicolumn{1}{c}{$p_2$}

 & \multicolumn{1}{c}{$p_3$}

 & \multicolumn{1}{c}{$p_4$}

 & \multicolumn{1}{c}{$p_5$} \\

 \cline{3-7}

 \multirow{5}{*}{\emph{Spieler 1}}

  & $p_1$ & $0,0$    & $1,2$   & $1,3$    & $1,4$   & $1,5$   \\\cline{3-7}

  & $p_2$  & $2,1$    & $0,0$   & $2,3$    & $2,4$   & $2,5$   \\\cline{3-7}

  & $p_3$ & $3,1$    & $3,2$   & $0,0$    & $3,4$   & $3,5$   \\\cline{3-7}

  & $p_4$  & $4,1$    & $4,2$   & $4,3$    & $0,0$   & $4,5$   \\\cline{3-7}

  & $p_5$  & $5,1$    & $5,2$   & $5,3$    & $5,4$   & $0,0$   \\\cline{3-7}

\end{tabular}\\\\\\

%

Seit $(\alpha,\beta)$ ein NG mit Nutzenprofil $(u,v)$ im Spiel $G$, dann ist das LCP durch folgende Ungleichungen definiert.

\begin{align}

  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 0-\beta(p_2)\cdot 1-\beta(p_3)\cdot 1-\beta(p_4)\cdot 1-\beta(p_5)\cdot 1\\

  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 2-\beta(p_2)\cdot 0-\beta(p_3)\cdot 2-\beta(p_4)\cdot 2-\beta(p_5)\cdot 2\\

  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 3-\beta(p_2)\cdot 3-\beta(p_3)\cdot 0-\beta(p_4)\cdot 3-\beta(p_5)\cdot 3\\

  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 4-\beta(p_2)\cdot 4-\beta(p_3)\cdot 4-\beta(p_4)\cdot 0-\beta(p_5)\cdot 4\\

  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 5-\beta(p_2)\cdot 5-\beta(p_3)\cdot 5-\beta(p_4)\cdot 5-\beta(p_5)\cdot 0\\

  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 0-\alpha(p_2)\cdot 1-\alpha(p_3)\cdot 1-\alpha(p_4)\cdot 1-\alpha(p_5)\cdot 1\\

  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 2-\alpha(p_2)\cdot 0-\alpha(p_3)\cdot 2-\alpha(p_4)\cdot 2-\alpha(p_5)\cdot 2\\

  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 3-\alpha(p_2)\cdot 3-\alpha(p_3)\cdot 0-\alpha(p_4)\cdot 3-\alpha(p_5)\cdot 3\\

  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 4-\alpha(p_2)\cdot 4-\alpha(p_3)\cdot 4-\alpha(p_4)\cdot 0-\alpha(p_5)\cdot 4\\

  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 5-\alpha(p_2)\cdot 5-\alpha(p_3)\cdot 5-\alpha(p_4)\cdot 5-\alpha(p_5)\cdot 0\\

  0&\leq \alpha(a)&\forall a\in A\\

  0&\leq \beta(b)&\forall b\in B\\

  1&=\alpha(p_1)+\alpha(p_2)+\alpha(p_3)+\alpha(p_4)+\alpha(p_5)\\

  1&=\beta(p_1)+\beta(p_2)+\beta(p_3)+\beta(p_4)+\beta(p_5)\\

  0&=\alpha(a)\cdot(u-U_1(a,\beta))&\forall a\in A\\

  0&=\beta(b)\cdot(v-U_2(\alpha,b))&\forall b\in B

\end{align}

Gleichungen (15) und (16) sind zu expandieren, wie in den Gleichungen (1)-(10) gezeigt. Au\ss erdem muss f\"ur die Normalform hierbei zus\"atzliche Variablen eingef\"uhrt werden. Wir unterlassen beides um die \"Ubersichtlichkeit zu erhalten.

\end{document}