1.1 --- a/exercises/solutions/sol03.tex	Sat May 19 22:50:05 2012 +0200
     1.2 +++ b/exercises/solutions/sol03.tex	Sun May 20 03:52:01 2012 +0200
     1.3 @@ -54,4 +54,24 @@
     1.4  Wegen $B_i(a_{-i})=\{a_i\in A_i \mid u_i(a_{-1},a_i)\geq u_i(a_{-i},a_i')\text{ f\"ur alle } a_i'\in A_i\}$, $a_i'\in B_i(\alpha_{-i})$ und $a_i\notin B_i(\alpha_{-i})$ folgt, dass f\"ur alle $b \in B$ und $b'\in C$ gilt $u_i(b') > u_i(b)$. Zudem wurden bei der Verteilung $\alpha'$ die Wahrscheinlichkeiten aller $b'\in C$ mit den von $b\in B$ aufgestockt, d.h. f\"ur alle $b\in B$ und $b'\in C$ gilt $\alpha_i'(b')\cdot u_i(b') > \alpha_i(b)\cdot u_i(b)+\alpha_i(b')\cdot u_i(b')$. Somit folgt 
     1.5  \[\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j'(b_j)\right)u_i(b)>\sum_{b\in B}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)+\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)\]
     1.6  \[\implies U_i(\alpha') > U_i(\alpha)\]\qed
     1.7 +
     1.8 +\section*{Aufgabe 3.3}
     1.9 +Nach dem Support-Lemma, k\"onnen wir Strategie $X$ f\"ur Spieler 2 ausschlie{\ss}en, da bei einem NG $\alpha^*$ f\"ur jede reine Strategie $a_i\in supp(\alpha_i^*)$ gelten muss $a_i\in B_i(\alpha_{-i}^*)$ mit $B_i(\alpha_{-i}^*)=\{a_i\in A_i \mid U_i(\alpha_{-1}^*,a_i)\geq U_i(\alpha_{-i}^*,a_i')\text{ f\"ur alle } a_i'\in A_i\}$, d.h. $a_i$ ist eine beste Antwort auf $\alpha_{-i}^*$. Nur $B$ und $S$ werden dieser Bedingung f\"ur Spieler 2 gerecht.
    1.10 +
    1.11 +Mit Hilfe des Lemmas ermitteln wir nun die Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
    1.12 +\begin{align*}
    1.13 +U_1(B,\alpha_2^*)&=4\cdot\alpha_2^*(B)\\
    1.14 +U_1(S,\alpha_2^*)&=2\cdot\alpha_2^*(S)
    1.15 +\end{align*}
    1.16 +Wir wissen, dass f\"ur ein NG $U_1(B,\alpha_2^*)=U_1(S,\alpha_2^*)$ gelten muss. Au{\ss}erdem gilt $\alpha_2^*(B)+\alpha_2^*(S)=1$. Wir stellen die erste Gleichung entsprechend um und setzen das Ergebnis mit der zweiten Gleichung gleich und l\"osen auf.
    1.17 +\begin{align*}
    1.18 +4\cdot(1-\alpha_2^*(S))&=2\cdot\alpha_2^*(S)\\
    1.19 +4-4\cdot\alpha_2^*(S)&=2\cdot\alpha_2^*(S)\\
    1.20 +-6\cdot\alpha_2^*(S)&=-4\\
    1.21 +\alpha_2^*(S)&=\frac{2}{3} \implies \alpha_2^*(B)=\frac{1}{3}\\
    1.22 +\end{align*}
    1.23 +Wir k\"onnten $\alpha_1$ auf gleiche Weise herleiten, jedoch ist dies durch die Symmetrie der Nutzenfunktion nicht notwendig. Trivialerweise folgt $\alpha_1^*(B)=\frac{2}{3}$ und $\alpha_1^*(S)=\frac{1}{3}$.
    1.24 +
    1.25 +Somit haben wir das NG ermittelt, es hat folgende Auszahlungen: $U_1(\alpha^*)=\alpha_1^*(B)\cdot\alpha_2^*(B)\cdot u_1(B,B)+\alpha_1^*(S)\cdot\alpha_2^*(S)\cdot u_1(S,S)=\frac{4}{3}=U_2(\alpha^*)$.
    1.26 +
    1.27  \end{document}