1.1 Binary file exercises/solutions/sol03.pdf has changed

     2.1 --- a/exercises/solutions/sol03.tex	Sun May 20 03:52:01 2012 +0200
     2.2 +++ b/exercises/solutions/sol03.tex	Sun May 20 22:57:21 2012 +0200
     2.3 @@ -49,9 +49,15 @@
     2.4  Wegen $\alpha_i'(a_i)=0$ und $\alpha_i'(b_i) = \alpha_i(b_i)$ f\"ur alle $i\in N$ und $b\in A\setminus B\cup C$ folgt
     2.5  \begin{align*}
     2.6  U_i(\alpha')&=\sum_{b\in A\setminus{B\cup C}}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)+\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j'(b_j)\right)u_i(b)\\
     2.7 -&=U_i(\alpha)-\sum_{b\in B}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)-\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)+\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j'(b_j)\right)u_i(b)
     2.8 +U_i(\alpha')&=U_i(\alpha)-\sum_{b\in B}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)-\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)+\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j'(b_j)\right)u_i(b)
     2.9  \end{align*}
    2.10 -Wegen $B_i(a_{-i})=\{a_i\in A_i \mid u_i(a_{-1},a_i)\geq u_i(a_{-i},a_i')\text{ f\"ur alle } a_i'\in A_i\}$, $a_i'\in B_i(\alpha_{-i})$ und $a_i\notin B_i(\alpha_{-i})$ folgt, dass f\"ur alle $b \in B$ und $b'\in C$ gilt $u_i(b') > u_i(b)$. Zudem wurden bei der Verteilung $\alpha'$ die Wahrscheinlichkeiten aller $b'\in C$ mit den von $b\in B$ aufgestockt, d.h. f\"ur alle $b\in B$ und $b'\in C$ gilt $\alpha_i'(b')\cdot u_i(b') > \alpha_i(b)\cdot u_i(b)+\alpha_i(b')\cdot u_i(b')$. Somit folgt 
    2.11 +Wegen $B_i(a_{-i})=\{a_i\in A_i \mid u_i(a_{-1},a_i)\geq u_i(a_{-i},a_i')\text{ f\"ur alle } a_i'\in A_i\}$, $a_i'\in B_i(\alpha_{-i})$ und $a_i\notin B_i(\alpha_{-i})$ folgt, dass f\"ur alle $b \in B$ und $b'\in C$ gilt $u_i(b') > u_i(b)$. Zudem wurden bei der Verteilung $\alpha'$ die Wahrscheinlichkeiten aller $b'\in C$ mit den von $b\in B$ aufgestockt, d.h. f\"ur alle $b\in B$ und $b'\in C$ gilt
    2.12 +\begin{align*}
    2.13 +\alpha_i'(b')\cdot u_i(b')&=(\alpha_i(b')+\alpha_i(b))\cdot u_i(b')\\
    2.14 +\alpha_i'(b')\cdot u_i(b')&=\alpha_i(b')\cdot u_i(b')+\alpha_i(b)\cdot u_i(b')\\
    2.15 +\implies \alpha_i'(b')\cdot u_i(b')&> \alpha_i(b')\cdot u_i(b')+\alpha_i(b)\cdot u_i(b)
    2.16 +\end{align*}
    2.17 +Somit folgt 
    2.18  \[\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j'(b_j)\right)u_i(b)>\sum_{b\in B}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)+\sum_{b\in C}\left(\prod_{j\in N}\alpha_j(b_j)\right)u_i(b)\]
    2.19  \[\implies U_i(\alpha') > U_i(\alpha)\]\qed
    2.20