1.1 --- a/exercises/solutions/sol01.tex Fri May 04 04:12:58 2012 +0200
1.2 +++ b/exercises/solutions/sol01.tex Sat May 05 01:56:50 2012 +0200
1.3 @@ -21,7 +21,7 @@
1.4 \pagestyle{empty}
1.5 \begin{document}
1.6 \maketitle
1.7 -
1.8 +%
1.9 \section*{Aufgabe 1.1}
1.10 \begin{tabular}{rr|c|c|c|c|c|}
1.11 \multicolumn{1}{r}{}
1.12 @@ -38,13 +38,73 @@
1.13
1.14 \cline{3-7}
1.15 \multirow{5}{*}{\emph{Spieler 1}}
1.16 - & Schere & 0,0 & -1,1 & 1,-1 & 1,-1 & -1,1 \\\cline{3-7}
1.17 - & Stein & 1,-1 & 0,0 & -1,1 & 1,-1 & -1,1 \\\cline{3-7}
1.18 - & Papier & -1,1 & 1,-1 & 0,0 & -1,1 & 1,-1 \\\cline{3-7}
1.19 - & Echse & -1,1 & -1,1 & 1,-1 & 0,0 & 1,-1 \\\cline{3-7}
1.20 - & Spock & 1,-1 & 1,-1 & -1,1 & -1,1 & 0,0 \\\cline{3-7}
1.21 + & Schere & $0,0$ & $-1,1$ & $1,-1$ & $1,-1$ & $-1,1$ \\\cline{3-7}
1.22 + & Stein & $1,-1$ & $0,0$ & $-1,1$ & $1,-1$ & $-1,1$ \\\cline{3-7}
1.23 + & Papier & $-1,1$ & $1,-1$ & $0,0$ & $-1,1$ & $1,-1$ \\\cline{3-7}
1.24 + & Echse & $-1,1$ & $-1,1$ & $1,-1$ & $0,0$ & $1,-1$ \\\cline{3-7}
1.25 + & Spock & $1,-1$ & $1,-1$ & $-1,1$ & $-1,1$ & $0,0$ \\\cline{3-7}
1.26 \end{tabular} \\\\
1.27 +%
1.28 +\section*{Aufgabe 1.2}
1.29 +(a) W\"ahler 1 und 2 bevorzugen Kandidat $K_1$ und W\"ahler 3 Kandidat $K_2$. Wir teilen die ansonsten dreidimensionale Matrix in zwei Matrize auf. \\\\
1.30 +\begin{tabular}{rr|c|c|}
1.31 + \multicolumn{2}{r}{}
1.32 + & \multicolumn{2}{c}{\emph{W\"ahler 3 $\rightarrow K_1$}} \\
1.33
1.34 -\section*{Aufgabe 1.2}
1.35 -(a)
1.36 + \multicolumn{2}{r}{}
1.37 + & \multicolumn{2}{c}{\emph{W\"ahler 2}} \\
1.38 +
1.39 + \multicolumn{2}{r}{}
1.40 + & \multicolumn{1}{c}{$K_1$}
1.41 + & \multicolumn{1}{c}{$K_2$} \\
1.42 +
1.43 + \cline{3-4}
1.44 + \multirow{2}{*}{\emph{W\"ahler 1}}
1.45 + & $K_1$ & $1,1,-1$ & $1,1,-1$ \\\cline{3-4}
1.46 + & $K_2$ & $1,1,-1$ & $-1,-1,1$ \\\cline{3-4}
1.47 +\end{tabular} \\\\\\
1.48 +%
1.49 +\begin{tabular}{rr|c|c|}
1.50 + \multicolumn{2}{r}{}
1.51 + & \multicolumn{2}{c}{\emph{W\"ahler 3 $\rightarrow K_2$}} \\
1.52 +
1.53 + \multicolumn{2}{r}{}
1.54 + & \multicolumn{2}{c}{\emph{W\"ahler 2}} \\
1.55 +
1.56 + \multicolumn{2}{r}{}
1.57 + & \multicolumn{1}{c}{$K_1$}
1.58 + & \multicolumn{1}{c}{$K_2$} \\
1.59 +
1.60 + \cline{3-4}
1.61 + \multirow{2}{*}{\emph{W\"ahler 1}}
1.62 + & $K_1$ & $1,1,-1$ & $-1,-1,1$ \\\cline{3-4}
1.63 + & $K_2$ & $-1,-1,1$ & $-1,-1,1$ \\\cline{3-4}
1.64 +\end{tabular} \\\\\\
1.65 +%
1.66 +(b) $(K_2, *, *)$ wird durch $(K_1, *, *)$ schwach dominiert, da folgendes gilt.
1.67 +\begin{align*}
1.68 +u_1(K_2, K_1, K_1) &= u_1(K_1, K_1, K_1) \\
1.69 +u_1(K_2, K_2, K_1) &< u_1(K_1, K_2, K_1) \\
1.70 +u_1(K_2, K_1, K_2) &< u_1(K_1, K_1, K_1) \\
1.71 +u_1(K_2, K_2, K_2) &= u_1(K_1, K_2, K_2) \\
1.72 +\end{align*}
1.73 +%
1.74 +$(*, K_2, *)$ wird durch $(*, K_1, *)$ schwach dominiert, da folgendes gilt.
1.75 +\begin{align*}
1.76 +u_2(K_1, K_2, K_1) &= u_2(K_1, K_1, K_1) \\
1.77 +u_2(K_2, K_2, K_1) &< u_2(K_2, K_1, K_1) \\
1.78 +u_2(K_1, K_2, K_2) &< u_2(K_1, K_1, K_2) \\
1.79 +u_2(K_2, K_2, K_2) &= u_2(K_2, K_1, K_2) \\
1.80 +\end{align*}
1.81 +%
1.82 +$(*, *, K_1)$ wird durch $(*, *, K_2)$ schwach dominiert, da folgendes gilt.
1.83 +\begin{align*}
1.84 +u_3(K_1, K_1, K_1) &= u_3(K_1, K_1, K_2) \\
1.85 +u_3(K_2, K_1, K_1) &< u_3(K_2, K_1, K_2) \\
1.86 +u_3(K_1, K_2, K_1) &< u_3(K_1, K_2, K_2) \\
1.87 +u_3(K_2, K_2, K_1) &= u_3(K_2, K_2, K_2) \\
1.88 +\end{align*}
1.89 +Da W\"ahler 1 und 2 Kandidat $K_1$ bevorzugen und W\"aher 3 Kandidat $K_2$ folgt daraus, dass f\"ur den Gegenkandidaten zu stimmen eine schwach dominierte Strategie ist. \\\\
1.90 +%
1.91 +(c) Die NG des Spiels sind $(K_1, K_1, K_1)$, $(K_1, K_1, K_2)$ und $(K_2, K_2, K_2)$.
1.92 \end{document}