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     1.3 @@ -0,0 +1,69 @@
     1.4 +\documentclass[a4paper, 10pt, pagesize, smallheadings]{article}
     1.5 +\usepackage{graphicx}
     1.6 +%\usepackage[latin1]{inputenc}
     1.7 +\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
     1.8 +\usepackage{typearea}
     1.9 +\usepackage{algorithm}
    1.10 +\usepackage{algorithmic}
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    1.14 +\usepackage[all]{xy}
    1.15 +\addtolength{\voffset}{-20pt}
    1.16 +\title{Spieltheorie \"Ubung 4}
    1.17 +\author{Eugen Sawin}
    1.18 +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
    1.19 +\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
    1.20 +\newcommand{\R}{\mathcal{R}}
    1.21 +
    1.22 +%\include{pythonlisting}
    1.23 +
    1.24 +\pagestyle{empty}
    1.25 +\begin{document}
    1.26 +\maketitle
    1.27 +%
    1.28 +\section*{Aufgabe 4.1}
    1.29 +(a) Das Picknickspiel ist das Spiel $G=\langle\{1,2\},(A,B),(u_i)\rangle$ mit $A=B=\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\}$ und das $(u_i)$ definiert durch die folgende Matrix.\\\\
    1.30 +\begin{tabular}{rr|c|c|c|c|c|}
    1.31 + \multicolumn{1}{r}{}
    1.32 + & \multicolumn{1}{r}{}
    1.33 + & \multicolumn{5}{c}{\emph{Spieler 2}} \\
    1.34 +
    1.35 + \multicolumn{1}{r}{}
    1.36 + & \multicolumn{1}{r}{}
    1.37 + & \multicolumn{1}{c}{$p_1$}
    1.38 + & \multicolumn{1}{c}{$p_2$}
    1.39 + & \multicolumn{1}{c}{$p_3$}
    1.40 + & \multicolumn{1}{c}{$p_4$}
    1.41 + & \multicolumn{1}{c}{$p_5$} \\
    1.42 +
    1.43 + \cline{3-7}
    1.44 + \multirow{5}{*}{\emph{Spieler 1}}
    1.45 +  & $p_1$ & $0,0$    & $1,2$   & $1,3$    & $1,4$   & $1,5$   \\\cline{3-7}
    1.46 +  & $p_2$  & $2,1$    & $0,0$   & $2,3$    & $2,4$   & $2,5$   \\\cline{3-7}
    1.47 +  & $p_3$ & $3,1$    & $3,2$   & $0,0$    & $3,4$   & $3,5$   \\\cline{3-7}
    1.48 +  & $p_4$  & $4,1$    & $4,2$   & $4,3$    & $0,0$   & $4,5$   \\\cline{3-7}
    1.49 +  & $p_5$  & $5,1$    & $5,2$   & $5,3$    & $5,4$   & $0,0$   \\\cline{3-7}
    1.50 +\end{tabular}\\\\\\
    1.51 +%
    1.52 +Seit $(\alpha,\beta)$ ein NG mit Nutzenprofil $(u,v)$ im Spiel $G$, dann ist das LCP durch folgende Ungleichungen definiert.
    1.53 +\begin{align}
    1.54 +  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 0-\beta(p_2)\cdot 1-\beta(p_3)\cdot 1-\beta(p_4)\cdot 1-\beta(p_5)\cdot 1\\
    1.55 +  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 2-\beta(p_2)\cdot 0-\beta(p_3)\cdot 2-\beta(p_4)\cdot 2-\beta(p_5)\cdot 2\\
    1.56 +  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 3-\beta(p_2)\cdot 3-\beta(p_3)\cdot 0-\beta(p_4)\cdot 3-\beta(p_5)\cdot 3\\
    1.57 +  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 4-\beta(p_2)\cdot 4-\beta(p_3)\cdot 4-\beta(p_4)\cdot 0-\beta(p_5)\cdot 4\\
    1.58 +  0&\leq u-\beta(p_1)\cdot 5-\beta(p_2)\cdot 5-\beta(p_3)\cdot 5-\beta(p_4)\cdot 5-\beta(p_5)\cdot 0\\
    1.59 +  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 0-\alpha(p_2)\cdot 1-\alpha(p_3)\cdot 1-\alpha(p_4)\cdot 1-\alpha(p_5)\cdot 1\\
    1.60 +  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 2-\alpha(p_2)\cdot 0-\alpha(p_3)\cdot 2-\alpha(p_4)\cdot 2-\alpha(p_5)\cdot 2\\
    1.61 +  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 3-\alpha(p_2)\cdot 3-\alpha(p_3)\cdot 0-\alpha(p_4)\cdot 3-\alpha(p_5)\cdot 3\\
    1.62 +  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 4-\alpha(p_2)\cdot 4-\alpha(p_3)\cdot 4-\alpha(p_4)\cdot 0-\alpha(p_5)\cdot 4\\
    1.63 +  0&\leq v-\alpha(p_1)\cdot 5-\alpha(p_2)\cdot 5-\alpha(p_3)\cdot 5-\alpha(p_4)\cdot 5-\alpha(p_5)\cdot 0\\
    1.64 +  0&\leq \alpha(a)&\forall a\in A\\
    1.65 +  0&\leq \beta(b)&\forall b\in B\\
    1.66 +  1&=\alpha(p_1)+\alpha(p_2)+\alpha(p_3)+\alpha(p_4)+\alpha(p_5)\\
    1.67 +  1&=\beta(p_1)+\beta(p_2)+\beta(p_3)+\beta(p_4)+\beta(p_5)\\
    1.68 +  0&=\alpha(a)\cdot(u-U_1(a,\beta))&\forall a\in A\\
    1.69 +  0&=\beta(b)\cdot(v-U_2(\alpha,b))&\forall b\in B
    1.70 +\end{align}
    1.71 +Gleichungen (15) und (16) sind zu expandieren, wie in den Gleichungen (1)-(10) gezeigt. Au\ss erdem muss f\"ur die Normalform hierbei zus\"atzliche Variablen eingef\"uhrt werden. Wir unterlassen beides um die \"Ubersichtlichkeit zu erhalten.
    1.72 +\end{document}